Hintergrundwissen
Primzahlzwillinge
Wir wissen seit über 2000 Jahren, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Es wird vermutet, dass es auch unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Leider ist dies bis heute weder bewiesen noch widerlegt.
Sei pk die k-te Primzahl, dann definieren wir die Folge der suksessiven Primzahldifferenzen durch: dk = pk+1 - pk. Also (dk)k = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, ...
Definition (Primzahlzwilling): Ein Primzahlpaar (pk+1,pk) heisst Primzahlzwilling <=> dk=2
Beispiele: (2,3), (5,7), (11,13), (17,19), ...
Der grösste bekannte Primzahlzwilling wurde im Januar 2007 gefunden, hat 58711 Stellen und lautet:
[Quelle: http://primes.utm.edu/ ]
BRUN zeigte 1919 das interessante Ergebnis, dass die Summe der reziproken Primzahlzwillinge konvergiert. Wir erinnern uns, dass die Summe 1/p divergiert.
B2 = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + ....
Den Grenzwert nennt man die BRUNsche Konstante. NICELY veröffentlichte 2000 den Wert:
B2 = 1,90216 05823 +- 10-10
[Quelle: MathWorld: Brun's Constant ]Anzahl der Primzahlzwillinge: die Werte wurden von BRENT (1976) bis 10^11, von NICELY bis 10^14 berechnet. Es sei pi2(x):= die Anzahl der Primzahlzwillinge kleiner oder gleich x aus IR, pi(x):= die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x.
| 10^n | pi2(10^n) | pi(10^n) |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 8 | 25 |
| 3 | 35 | 168 |
| 4 | 205 | 1229 |
| 5 | 1224 | 9592 |
| 6 | 8169 | 78498 |
| 7 | 58980 | 664579 |
| 8 | 440312 | 5761455 |
| 9 | 3424506 | 50847534 |
| 10 | 27412679 | 455052511 |
| 11 | 224376048 | 4118054813 |
| 12 | 1870585220 | 37607912018 |
| 13 | 15834664872 | 346065536839 |
| 14 | 135780321665 | 3204941750802 |
| 15 | 1177209242304 | 29844570422669 |
| 16 | 10304185697298 | 279238341033925 |