Hintergrundwissen
Wie gross sind Primzahllücken?
Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Primzahlen bezeichnen als Primzahllücke. Was können wir über diese Folge sagen? Wir werden sehen, dass eine Primzahllücke einerseits beliebig gross werden kann, andererseits aber nicht grösser sein kann, als ... lassen wir uns überraschen:
Definition (Primzahllücke): Es sei pk die k-te Primzahl und eine Folge der Primzahllücken definiert durch dk := pk+1 - pk.
Bemerkungen:
# dk = {1, 2, 2, 4, 2, 2, 4, 6, 2, ...}
# d1 = 1 und k>1 => 2 teilt dk
# Ob es beliebig viele Primzahllücken mit dk = 2 gibt, ist unbekannt. Siehe Primzahlzwillinge.
Satz (Grosse Lücke): Die Folge (dk)k ist nicht beschränkt.
Beweis: Sei N eine natürliche Zahl. Wir definieren genau N aufeinanderfolgede Zahlen durch:
ai := (N+1)! + i, für i=2,..., N+1
Wegen i teilt ai ist dk > N.Dieser Satz konstruiert uns eine beliebig grosse Lücke. Beispiel: für N=8 existiert auf jeden Fall eine Primzahllücke zwischen 40322 und 40329 (in der Tat ist die Lücke sogar noch grösser, wie ein Blick in die Primzahltabelle zeigt). Jetzt wollen wir die Folge der Primzahllücken aber nach oben durch eine andere Folge beschränken. 1852 zeigte TSCHEBYCHEF die Richtigkeit des:
Satz (BERTRANDschen Postulat):
Für jedes reelle x ≥ 1 existiert eine Primzahl im Intervall ]x, 2x]
Wir erhalten daraus insbesondere die Abschätzung für die Differenz sukzessiver Primzahlen:
dk = pk+1 - pk < pk
Weitere Informationen über die Abschätzung der Primzahllücken finden sich zum Beispiel auf The gaps between primes.