Hintergrundwissen
Schnelle Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl
Die Formel
Wir möchten schnell einen guten Schätzwert für die Quadratwurzel von n erhalten. Dazu betrachten wir n als n = m^2 + c, d.h. wir suchen die nächste Quadratzahl m^2 und bestimmen die Differenz c = n - m^2. Dann ist
√n ≈ m + c/2m (*)
Beispiele
1. Beispiel (√51):
51 = 49 + 2 = 7^2 + 2. Also √51 ≈ 7 + 2/14 = 7 + 1/7 ≈ 7,1428
Zum Vergleich: √51 = 7,1414...
2. Beispiel (√145):
145 = 144 + 1 = 12^2 + 1. Also √145 ≈ 12 + 1/24 = 12 + 0,125/3 = 12 + 04(5/3) ≈ 12,0416.
Zum Vergleich: √145 = 12,04159... mit einem Fehler von 7*10-5.
3. Beispiel (√12,72):
wir betrachten alternativ n'=1272 und dividieren später durch 10.
1272 = 1296 - 24 = 36^2 - 24. Also √1274 ≈ 36 - 24/72 = 36 - 1/3 ≈ 35,6666.
Und daher √12,72 ≈ 3,56666. Zum Vergleich: √12,72 = 3,56651...
4. Beispiel (√51):
wir betrachten alternativ n'=510.000 und dividieren später durch 100.
510.000 = 509796 + 204 = 714^2 + 204.
Also √510.000 ≈ 714 + 102/714 = 714 + 1/7 ≈ 714,142857.
Und daher √51 ≈ 7,14142857. Zum Vergleich: √51 = 7,14142842...
Erklärung
Wie funktioniert das? Die Gleichung (*) ist nichts anderes als die erste Iteration der Newton Methode. Der Fehler ist deshalb so gering, weil der Startwert des Newtons-Verfahrens geeignet gewählt wurde.
Nehmen wir n = m^2 + c, als Startwert wählen wir clever a0=m. Also ist
a1 = 1/2 * (a0 + n/a0) = (1/2 * (m + (m^2+c)/m) = 1/2 * (2m^2 + c)/(2m) = m + c/2m.
Fehler der ersten Iteration
Der Approximationsfehler der ersten Iteration des Heron Verfahrens ist
D = (√n - m)^2 / (2*m)
In 88,4% stimmen mindestens zwei Dezimalstellen
Für n=101 erhalten wir einen absoluten Fehler von etwa 1,2*10-4, aber nur die erste Dezimalstelle der Approximation stimmt mit der Wurzel von 101 überein. Als nächstes interessiert uns daher, wie viele Dezimalstellen der Approximation übereinstimmen. Betrachten wir zum Beispiel 2-stellige natürliche Zahlen m, d.h. 9 < m < 100. Wenden wir (*) auf alle 9900 natürliche Zahlen 99 < n < 10000 an, dann ist der Anteil der übereinstimmenden Dezimalzahlen:
2 Dezimalzahlen: 8752/9900 = 88,4%
3 Dezimalzahlen: 4465/9900 = 45,1%
4 Dezimalzahlen: 1416/9900 = 14,3%
Tabelle: die ersten Approximationen für n > 99. Die blau markierten Zeilen sind genau die Approximationen, die mit dem Ergebnis mindestens zwei identische Dezimalstellen hat.
