Kopfrechnen

Multiplikation durch Referenzmethode

Wie lange brauchst Du, um die folgende Aufgabe im Kopf zu berechnen?

997 * 984 = ?

1. Grundlage der Referenzmethode

Wir suchen das Produkt X*Y für zwei beliebige Zahlen X und Y. Wir nehmen uns eine Referenzzahl R, und bestimmen a = X-R, und b = Y-R. Dann ist X*Y=(R+a)*(R+b). Die Referenzmethode beruht auf der Identität:

Was soll das bringen? Ist nicht alles komplizierter geworden? Nein, denn wir finden manchmal eine Referenzzahl, so dass die rechte Seite wesentlich einfacher zu berechnen ist als die linke Seite.

Einfache Referenzzahlen sind zum Beispiel: 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, etc.

2. Beispiele zur Verdeutlichung der Referenzmethode

Das erste Beispiel ist ein Kopfrechnen Klassiker für die Referenzmethode. Übe die Referenzmethode zunächst mit dieser Referenzahl. Kannst Du die Aufgaben schnell und sicher im Kopf rechnen, dann schaue Dir dann die anderen Beispiele an.

97*98 = ?

Beide Faktoren liegen knapp unter 100, wir nehmen R=100 als Referenzzahl. Dann berechnen wir im Kopf den Abstand der Faktoren zur Referenzzahl, also a = 97-100 = -3, und b = 98-100 = -2. Wir merken uns diese Zahlen, oder schreiben Sie uns auf. Beachte, dass a und b hier beide negativ sind. Das Vorzeichen ist bei der Referenzmethode extrem wichtig. Die ersten beiden Ziffern der Lösung erhalten wir aus:
R*(R + a + b) = R(Y + a) = R(X + b) = 100*(98-3) = 9500. Die letzten beiden Ziffern der Lösung berechnen sich mit a*b = (-2)*(-3) = 06. Setzen wir alles zusammen erhalten wir 97*98 = 9506

Wer also das Einmaleins von 1-20 schnell und sicher im Kopf rechnen kann, ist alleine mit der Referenzzahl R=100 und er obigen Referenzmethode in der Lage alle Produkte aus dem Bereich von [80, 120] zu berechnen, zum Beispiel: 92*108, 85*113, 88*115, etc. Wer aber das Einmaleins von 1-20 nicht sicher beherrscht, sollte sich das nächste Beispiel R=10 anschauen.

14*17 = ?

R=10, a = 14-10 = 4, b = 17-10 = 7,
14*17 = R*(Y+a) + a*b = 10*(17+4) + 4*7 = 210 + 28 = 238

24*29 = ?

R=20, a = 24-20 = 4, b = 29-20 = 9,
24*29 = R*(Y+a) + a*b = 20*(29+4) + 4*9 = 660 + 36 = 696

52*51 = ?

R=50, a=2, b=1,
52*51 = 50*(51+2) + 2*1 = 2650 + 2 = 2652

106*107 = ?

R=100, a=6, b=7,
106*107 = 100*(107+6) + 6*7 = 11300 + 42 = 11342

214*217 = ?

R=200, a=14, b=17,
214*217 = 200*(217+14) + 14*17 = 46200 + 238 = 46438

997*984 = ?

X=997, Y=984. Das geübte Auge findet sofort in R=1000 eine geeignete Referenzzahl.
Dann ist a = 997-1000 = -3, b = 984-1000 = -16,
997*984 = R*(Y+a) + a*b = 1000*(984-3) + (-3)*(-16) = 981.000 + 48 = 981.048

3. Multiplikation durch Differenz von Quadraten

Für den Fall, dass wir eine Referenzzahl finden mit a = -b, vereinfacht sich die einfache Referenzmethode zu

auch bekannt als die 3. Binomische Formel. Das Produkt ist jetzt eine Differenz von Quadratzahlen.

Bsp. 38 * 42 = 40² - 2² = 1600 - 4 = 1596

Bsp. 89 * 91 = 90² - 1² = 8100 - 1 = 8099

Bsp. 72 * 88 = 80² - 8² = 6400 - 64 = 6336

Bsp. 376 * 424 = 400² - 24² = 160.000 - 576 = 159.424

Bsp. 988 * 1012 = 1.000² - 12² = 1.000.000 - 144 = 999.856

4. Erweiterte Referenzmethode

Die einfache Referenzmethode ist sehr leicht zu berechnen, wenn beide Faktoren in der Nähe einer geeigneteten Referenzzahl liegen. Wir können die Methode auf den Fall erweitern, falls der zweite Faktor in der Nähe des Vielfachen der Referenzzahl liegt.

Wir suchen das Produkt X*Y für zwei Zahlen X und Y. Wir nehmen uns eine Referenzzahl R, und bestimmen a = X-R, und b = Y-n*R. Dann ist X*Y=(R+a)*(n*R+b). Die Referenzmethode beruht auf der Identität:

5. Beispiele der erweiterten Referenzmethode

97*298 = ?

R=100, n=3, a=-3, b=-2,
97*298 = 100*(298-3*3) + (-3)(-2) = 28900 + 6 = 28906

14*87 = ?

R=10, n=8, a=4, b=7,
14*87 = 10*(87+8*4) + 4*7 = 1190 + 28 = 1218

26*87 = ?

R=20, n=4, a=6, b=7,
26*87 = 20*(87+4*6) + 6*7 = 20*111 + 42 = 2262

991*7081 = ?

R=1000, n=7, a=-9, b=81,
991*7081 = 1000*(7081-7*9) - 9*81 = 7018.000 - 729 = 7.017.271

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