Kopfrechnen
Multiplikation durch Kreuzmultiplikation
Wie lange brauchst Du, um die folgende Aufgabe im Kopf zu berechnen?
35 * 67 = ?
1. Kreuzmultiplikation 2-stelliger Zahlen
Die Kreuzmultipliaktion ("cross multiplication") ist eine einfache und universelle Methode zur Multiplikation 2- oder mehr-stelliger Zahlen. Die Kreuzmultipliaktion entsteht durch Umformungen aus der 'normalen' Multiplikation, ist aber einfacher im Kopf ausführbar.
Wir notieren hier () als 1-stellige Zahlengruppe, dann ist
Bsp. 35 * 67 = (3*6)(3*7+5*6)(5*7) = (18)(51)(35) = 2345
Man kann das auch so schreiben:
5*7 = 5, merke Dir 3 für den nächsten Schritt,
3*7+5*6 + 3 = 4, merke Dir 5,
3*6 + 5 = 23.
Die Kreuzmultiplikation funktioniert deshalb, weil
35 * 67 = 30*60 + 30*7 + 5*60 + 5*7 = 100*(3*6) + 10*(3*7+5*6) + 5*7
Die Kreuzmultiplikation hat ihren Namen von der folgenden, einprägsamen grafischen Darstellung. Man schreibt die Faktoren AB und CD untereinander und verbindet die zu multiplizierenden Ziffern A,B,C,D jeweils mit Linien. In der Mitte bildet sich ein Kreuz:
Falls C=0, so ist AB * D = (AD)(BD).
Bsp.: 87*8 = (64)(56) = 696
2. Kreuzmultiplikation 3-stelliger Zahlen
Wie wir gerade gesehen haben, beruht die Kreuzmultipliaktion ("cross multiplication") nur auf dem Distributiv-Gesetz. Wir können daher auch 3-stellige Zahlen miteinander multiplizieren. Bei größeren Zahlen verliert die Kreuzmultiplikation ihre Einfachheit.
Wir notieren wieder () als 1-stellige Zahlengruppe, dann ist
Das sieht kompliziert aus, aber beachte, dass sich die einzelnen Operationen nur auf das kleine Einmaleins beziehen. Viele erfahrene Kopfrechen-Experten multiplizieren deshalb mit der Kreuzmultiplikation sehr schnell 3-stellige Zahlen.
Bsp. 123*456 =
3*6 = 8, merke 1
2*6+3*5 + 1 = 8, merke 2
1*6+2*5+3*4 + 2 = 0, merke 3
1*5+2*4 + 3 = 6, merke 1
1*4 + 1 = 5.
d.h. 123*456 = 56088.
3. Kreuzmultiplikation 4-stelliger Zahlen
Es gibt Kopfrechenkünstler, die das Schema der Kreuzmultiplikation für 4-stellige Zahlen benutzen, indem sie jeweils 2-stellige Zahlen miteinander multiplizieren.
Wir verwenden jetzt () für 2-stellige Zahlen, dann ist zum Beispiel
1234*5678 = (12*56)(12*78+34*56)(34*78) = (672)(2840)(2652) = 7006652
4. Aufgaben und Ergänzungen
4.1. Erstelle aus der Kreuzmultiplikation eine spezielle Formel für die Multiplikation einer 2-stelligen Zahl mit 11.
4.2. Wie vereinfacht sich die Kreuzmultiplikation für 2-stellige Zahlen der Form AB*AD mit B+D=10? Zum Beispiel 43*47, 62*68, 59*51, 77*73, etc.
4.3. Erstelle aus der Kreuzmultiplikation eine Formel für die Multiplikation von a5*b5, zum Beispiel 35*85, 45*65, etc. Wie vereinfacht sich die Formel für a5*a5, zum Beispiel 352, 7252, etc?
4.4. Es ist AD+BC = AC+BD-(A-B)*(C-D). Wieso lässt sich damit die Kreuzmultiplikation vereinfachen? Welche Konsequenzen hat das für die Multipliaktion vierstelliger Zahlen?