Kopfrechnen
Bestimmung der 3. Wurzel
Die schnelle Berechnung von Kubikwurzeln, die Bestimmung des Wochentages eines beliebigen Datums, die Schach-Springer-Tour und die Konstruktion eines magischen Quadrates auf einer beliebigen Summe sind Klassiker mathematischer Unterhaltung.
Ein Zuschauer wird gebeten, eine Zahl zwischen 1 und Nmax auszuwählen, diese mit drei zu potenzieren, und das Ergebnis zu veröffentlichen. Der Kopfrechenkünstler kann sofort die 3. Wurzel aus der Zahl nennen.
► Nmax = 100
Alles was man sich für diesen Trick merken muss, sind die 3. Potenzen der Zahlen von 1 bis 10:
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n3 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
Grössenordnung => erste Ziffer
Der Zuschauer sucht sich eine Zahl n aus. Ist n<10, ist n3 eine Zahl aus der Tabelle. Wir nehmen an, dass n>10. Zum Beispiel nennt der Zuschauer die Zahl n3 = 79.507. Dann ist
403 = 64.000 < 79.507 < 125.000 = 503.
Wir kennen nun die erste Ziffer n=4*10+x.
Endziffer Identifizierung => zweite Ziffer
Die Tabelle zeigt, dass alle Potenzen auf unterschiedliche Ziffern enden. In den meisten Fällen bleibt die Endziffer erhalten, für 2->8, 8->2, 3->7, 7->3. Der Zuschauer nennt die Zahl 79507, die Endziffer von n ist daher 3.
Die gesucht Zahl ist: 43
► Nmax = 1000
Der Zuschauer nennt die Zahl n3 = 491.169.069. Die Grössenordnung liefert uns:
7003 = 343.000.000 < n3 < 512.000.000 = 8003.
a) Professionelle Kopfrechner merken sich zusätzlich die Grössenordnungen aller Zahlen zwischen 1 und 100 [GARDNER]. Professionelle Mnemotechniker benötigen dafür höchstens 5 Minuten. Also 780 < n < 790.
Die Endziffer 9 liefert uns die gesuchte Zahl: 789.
b) Die letzten beiden Endziffern (69) liefern hier zwar auch eindeutig die fehlenden Ziffern (89), also n=789. Allerdings ist das nicht immer der Fall. So ist
375 = 655^3 mod 1000 = 695^3 mod 1000
c) Eine Alternative ist es, die mittlere fehlende Ziffer modulo zu ermitteln. Die folgende Tabelle zeigt, dass wir mit modulo 11 weiterkommen:
| n mod 11 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n^3 mod 11 | 0 | 1 | 8 | 5 | 9 | 4 | 7 | 2 | 6 | 3 | 10 |
491169069 = 9-6+0-9+6-1+1-9+4 = 6 (mod 11). Also ist nach Tabelle n = 8 (mod 11). Andererseits ist n = 9-x+7 = 16-x (mod 11). Also ist die fehlende Ziffer x = 8, und daher n = 789.