Kopfrechnen
Die 13. Wurzel einer 100-stelligen Zahl
Der Bonner Informatiker Gert Mittring stellte 2004 einen Weltrekord im Kopfrechnen auf. Er zog in 11,6 Sekunden die 13. Wurzel aus einer 100-stelligen Zahl. Dahinter steckt ein mathematischer Trick: man kann auf die meisten Ziffern verzichten.
Was zuerst unvorteilhaft aussieht erweist sich als grosse Hilfe: das Wissen um die Anzahl der Stellen reduziert den Lösungsraum auf alle 8-stelligen Zahlen, die mit 4 beginnen. Denn 39.999.99913 ist eine 99-stellige Zahl und 50.000.00013 ist eine 101-stellige Zahl. Darüberhinaus bleibt die letzte Ziffer beim potenzieren konstant. Wir suchen also eine 8-stellige Zahl mit sechs unbekannten Ziffern.
Mittring hatte die folgende Aufgabe: suche die natürliche Zahl a mit a13=N, wobei
N = 7 066 437 381 674 286 102 234 008 830 240 157 375 704 233 170 702 632 731 269 721 516 000 395 709 065 419 973 141 914 549 389 684 111
Weil als Lösung nur eine natürliche Zahl in Frage kommt, kann man auf die meisten Ziffern verzichten. Wir betrachten nur die ersten sechs Ziffern und vereinfachen N zu n := 706644 * 1094. Wegen log(a) = 1/13 * log(N) erhalten wir
log(a) ≈ 1/13 *(94 + log(706644))
Der zweite Trick besteht darin, den log über die Primfaktorzerlegung 706644 = 22 * 35 * 729 zu berechnen. Dabei genügt es, den log von 25 Primzahlen unter 100 zu kennen und den log für grössere Primzahlen abzuschätzen:
7292 = 528529 > 528525 = 36 * 52 * 29
Unter Berücksichtigung von log(2) + log(5) = 1, erhalten wir nun
log(a) ≈ 1/13 * (95 + log(2) + 8*log(3) + 1/2*log(29)) = 1/13 * 99,849199 = 7,6807077
Nun wird a delogarithmiert. Aus log(4794*104)=4+log2+log3+log17+log47=7,6806980 erhalten wir eine Schätzung für a ≈ 47941067.
Bisher wurde nach unten abgeschätzt. Aus der Endzifferanalyse ergibt sich die vollständige Lösung a = 47941071.