Hintergrundwissen
Optimale rationale Approximation reeller Zahlen
Über die Kettenbruch-Darstellung erhalten wir Näherungsbrüche reeller Zahlen. Sie lassen sich rekursiv leicht berechnen, und der Approximationsfehler ist in einem gewissen Sinne optimal. Zum Beispiel ist 355/113 der 3-te Näherungsbruch von Pi.
Definition: Sei α = [ a0, a1, a2, ... ] := a0 + 1 / ( a1 + 1 / ( a2 + .... )) ein regulärer Kettenbruch. Für alle n aus IN liefert uns An/Bn := [ a0, a1, ... , an ] eine rationale Zahl, den n-ten Näherungsbruch für α = lim An/Bn.
Satz (Rekursive Bestimmung der Näherungsbrüche): Sei A-1=1, B-1=0. Dann ist für alle n aus IN:
An+1 = an+1 * An + An-1
Bn+1 = an+1 * Bn + Bn-1
Satz (Approximationsfehler von Näherungsbrüchen): Sei α = [ a0, a1, a2, ... ] eine beliebige reelle Zahl und für alle natürlichen Zahlen n sei An/Bn := [ a0, a1, ... , an ] der n-te Näherungsbruch von α. Dann gilt:
|α - An/Bn| < Bn-2
d.h. Näherungsbrüche erfüllen den DIRICHLET'schen Approximationssatz und liefern somit ein Konstruktionsverfahren.
Näherungsbrüche berechnen: Rationale Zahl als Bruch (z.B. r=2/3) oder Dezimalzahl (z.B. r=1,23) eingeben: