Hintergrundwissen
Kettenbrüche
Kettenbrüche liefern eine alternative Darstellung reeller Zahlen.
Definition:
(i) α = [ a0, a1, a2, ... ] := a0 + 1 / ( a1 + 1 / ( a2 + .... ))
mit reellen ai heisst ein Kettenbruch von α.
(ii) Falls ein n aus IN existiert mit α = [ a0, a1, ... , an ], so nennen wir dies einen endlichen Kettenbruch.
(iii) Falls alle ai ganzzahlig sind, so ist das ein regulärer Kettenbruch.
Beispiele:
(a) √2 = [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] A040000
(b) Pi = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, ...] A001203
(c) e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ...] A003417
(d) (1 + √5)/2 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] A000012
Satz: Jede reelle Zahl besitzt eine reguläre Kettenbruchdarstellung.
Sei α aus IR. Wir definieren r0 := α, rn+1 := 1/(rn-[rn]) falls rn <> [rn], sonst 0. Dann erhalten wir den Kettenbruch durch an := [rn].
Beispiel: α = 2,34. a0=[2,34]=2, a1=[1/(2,34-2)]=[100/34]=[2 16/17]=2, a2=[17/16]=1, a3=16, a4=0. d.h. α = [2, 2, 1, 16].
Satz: Q = { endlichen regulären Kettenbrüche }
Satz: Periodische Kettenbrüche sind die Lsg. quadrat. Gleichungen
Weitere Anwendungen sind:
- Rationale Approximation reeller Zahlen mit Hilfe von Kettenbrüchen
- Faktorisierung ganzer Zahlen