Hintergrundwissen
Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen
Eine rationale Zahl können wir entweder als Bruch q = a / b darstellen oder als eine Dezimalzahl. Manche Dezimalzahldarstellungen rationaler Zahlen sind endlich (1/8 = 0,125), manche sind unendlich (1/3 = 0,33333.... = 0,3). Der folgende Satz gibt Aufschluss darüber, wie man die Dezimalzahldarstellung rationaler Zahlen bestimmt.
Online Rechner: Dezimalzahldarstellung rationaler Zahlen
Vorperiodenlänge: 0, Periodenlänge: 2
q = 0,01
Satz: Darstellung rationaler Zahlen als Dezimalzahl
Es sei 0 < q < 1 eine rationale Zahl, d.h. q=m/n mit (m,n)=1.
Es sei n=2α5βw, k=max(α, β) und l = min{ i>0 | w teilt 10i-1 }
(1) q1...qk = [10kq]
(2) qk+1...qk+l = (10kq - [10kq])(10l-1)
(3) q = 0,q1...qkqk+1...qk+l
(4) q = ((q1...qk)(10l-1) + (qk+1...qk+l)) / (10k(10l-1))
Bemerkung: die Periodenlänge ist gerade die Ordnung der Restklasse von 10 mod n in der Gruppe (Z/nZ)* der primen Restklassen mod n. Insbesondere ist die Periodenlänge ein Teiler von φ(n), der sogenannten EULERschen φ-Funktion.
Ein Beispiel: die Dezimalzahldarstellung von q=17/520
Wir bestimmen zunächst die Länge der Vorperiode k mittels 520=235113, also k=3. Damit können wir nun nach (1) die Vorperiode bestimmen:
q1q2q3 = [(2^3*5^3*17) / (2^3*5*13)] = [25*17/13] = [32 9/13] = 032
Als nächstes bestimmen wir die Periodenlänge l. w=13 teilt 10i-1 genau dann, wenn 10i = 1 (mod 13). 10=-3 (mod 13), 10^3=-1 (mod 13), 10^6=1 (mod 13), also ist die Periodenlänge l=6.
Zur Berechnung des periodischen Anteils verwenden wir (2)
9/13 * (106-1) = 9*9*7*11*37 = 692307.
Nach (3) ist die Dezimalzahlentwicklung nun bekannt, es gilt:
17/520 = 0,032692307
Tabelle: Die Darstellung von 1/n als Dezimalzahl (n=2,..,99)
| n | k | l | Vorperiode | Periode |
| 2 | 1 | 1 | 5 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | |
| 4 | 2 | 1 | 25 | 0 |
| 5 | 1 | 1 | 2 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 6 |
| 7 | 0 | 6 | 142857 | |
| 8 | 3 | 1 | 125 | 0 |
| 9 | 0 | 1 | 1 | |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 11 | 0 | 2 | 09 | |
| 12 | 2 | 1 | 08 | 3 |
| 13 | 0 | 6 | 076923 | |
| 14 | 1 | 6 | 0 | 714285 |
| 15 | 1 | 1 | 0 | 6 |
| 16 | 4 | 1 | 0625 | 0 |
| 17 | 0 | 16 | 0588235294117647 | |
| 18 | 1 | 1 | 0 | 5 |
| 19 | 0 | 18 | 052631578947368421 | |
| 20 | 2 | 1 | 05 | 0 |
| 21 | 0 | 6 | 047619 | |
| 22 | 1 | 2 | 0 | 45 |
| 23 | 0 | 22 | 0434782608695652173913 | |
| 24 | 3 | 1 | 041 | 6 |
| 25 | 2 | 1 | 04 | 0 |
| 26 | 1 | 6 | 0 | 384615 |
| 27 | 0 | 3 | 037 | |
| 28 | 2 | 6 | 03 | 571428 |
| 29 | 0 | 28 | 0344827586206896551724137931 | |
| 30 | 1 | 1 | 0 | 3 |
| 31 | 0 | 15 | 032258064516129 | |
| 32 | 5 | 1 | 03125 | 0 |
| 33 | 0 | 2 | 03 | |
| 34 | 1 | 16 | 0 | 2941176470588235 |
| 35 | 1 | 6 | 0 | 285714 |
| 36 | 2 | 1 | 02 | 7 |
| 37 | 0 | 3 | 027 | |
| 38 | 1 | 18 | 0 | 263157894736842105 |
| 39 | 0 | 6 | 025641 | |
| 40 | 3 | 1 | 025 | 0 |
| 41 | 0 | 5 | 02439 | |
| 42 | 1 | 6 | 0 | 238095 |
| 43 | 0 | 21 | 023255813953488372093 | |
| 44 | 2 | 2 | 02 | 27 |
| 45 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 46 | 1 | 22 | 0 | 2173913043478260869565 |
| 47 | 0 | 46 | 0212765957446808510638297872340425531914893617 | |
| 48 | 4 | 1 | 0208 | 3 |
| 49 | 0 | 42 | 020408163265306122448979591836734693877551 | |
| 50 | 2 | 1 | 02 | 0 |
| 51 | 0 | 16 | 0196078431372549 | |
| 52 | 2 | 6 | 01 | 923076 |
| 53 | 0 | 13 | 0188679245283 | |
| 54 | 1 | 3 | 0 | 185 |
| 55 | 1 | 2 | 0 | 18 |
| 56 | 3 | 6 | 017 | 857142 |
| 57 | 0 | 18 | 017543859649122807 | |
| 58 | 1 | 28 | 0 | 1724137931034482758620689655 |
| 59 | 0 | 58 | 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 | |
| 60 | 2 | 1 | 01 | 6 |
| 61 | 0 | 60 | 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 | |
| 62 | 1 | 15 | 0 | 161290322580645 |
| 63 | 0 | 6 | 015873 | |
| 64 | 6 | 1 | 015625 | 0 |
| 65 | 1 | 6 | 0 | 153846 |
| 66 | 1 | 2 | 0 | 15 |
| 67 | 0 | 33 | 014925373134328358208955223880597 | |
| 68 | 2 | 16 | 01 | 4705882352941176 |
| 69 | 0 | 22 | 0144927536231884057971 | |
| 70 | 1 | 6 | 0 | 142857 |
| 71 | 0 | 35 | 01408450704225352112676056338028169 | |
| 72 | 3 | 1 | 013 | 8 |
| 73 | 0 | 8 | 01369863 | |
| 74 | 1 | 3 | 0 | 135 |
| 75 | 2 | 1 | 01 | 3 |
| 76 | 2 | 18 | 01 | 315789473684210526 |
| 77 | 0 | 6 | 012987 | |
| 78 | 1 | 6 | 0 | 128205 |
| 79 | 0 | 13 | 0126582278481 | |
| 80 | 4 | 1 | 0125 | 0 |
| 81 | 0 | 9 | 012345679 | |
| 82 | 1 | 5 | 0 | 12195 |
| 83 | 0 | 41 | 01204819277108433734939759036144578313253 | |
| 84 | 2 | 6 | 01 | 190476 |
| 85 | 1 | 16 | 0 | 1176470588235294 |
| 86 | 1 | 21 | 0 | 116279069767441860465 |
| 87 | 0 | 28 | 0114942528735632183908045977 | |
| 88 | 3 | 2 | 011 | 36 |
| 89 | 0 | 44 | 01123595505617977528089887640449438202247191 | |
| 90 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 91 | 0 | 6 | 010989 | |
| 92 | 2 | 22 | 01 | 0869565217391304347826 |
| 93 | 0 | 15 | 010752688172043 | |
| 94 | 1 | 46 | 0 | 1063829787234042553191489361702127659574468085 |
| 95 | 1 | 18 | 0 | 105263157894736842 |
| 96 | 5 | 1 | 01041 | 6 |
| 97 | 0 | 96 | 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 | |
| 98 | 1 | 42 | 0 | 102040816326530612244897959183673469387755 |
| 99 | 0 | 2 | 01 |